Un remake (avec des exponentielle) du robinet qui remplit une baignoire percée

Bonsoir,

Un problème simple à énoncer .

Le raisonnement doit se rapprocher des filiations radioactives, mais je bute dessus ce soir  . 

Maitre loyal, le sujet s'il vous plait : 
Un radionucléide X est produit en continu dans un volume constant V. Ce radionucléide de période T se désintègre en un élément stable. Quel est l’activité dans le volume V au temps t.

Un clown arriverait-il à me retrouver la formule et sa démonstration dans son chapeau. Ou pour être raccord avec la saison : un père-noël dans sa hotte

Bonsoir
Ca me rappelle la formule de la concentration volumique pour une fuite en continue où l'on monte à une valeur à l'équilibre.

Si Q est le débit de ventilation du local de volume V, l'activité volumique ou concentration moyenne en fonction du temps est donnée par la relation suivante :
Mais dans l'exemple c'est légèrement différent. Pas de renouvellement d'air mais une décroissance.
Mais si le volume est fini alors on doit tendre vers une limite et on ne peut plus ajouter d'activité puis on arrive à 0 par décroissance.

On doit avoir une formule analogue qui serait :
A = Activité horaire . T / Ln2 . (1 - e^{-Ln2 . t /T})
avec :
où :      Ah est l'activité libérée par unité de temps   exemple d'unité Bq.h^-1
           A est alors exprimée en Bq
Quand on atteint le V complètement occupé (en supposant que le temps de remplissage soit grand par rapport à la période T) on aurait :
A = Activité horaire . T / Ln2

Mais du coup on utilise pas V.

Bon à 23 h c'est un peu au pif.
Iron kloug

Salut,
je pense que l'on peut résoudre ce problème en considérant la période du premier et second radionucléide.

Cela donne :


et


Après, tu adaptes avec les activités et volumes

A noter que si le rapport est supérieur à 50, les formules se simplifient beaucoup avec une bonne approximation...

Si tu as besoin de la démonstration, ça passe par des équa diff, et ne devrait pas prendre plus d'une page.

Bonjour,

Ci-dessous 2 courbes tracées sous excel en utilisant la formule de Kloug (abscisse : temps / ordonnée : activité dans l'enceinte en kBq)
La forme correspond a ce que j'attendais : courbe linéaire lorsque la période de X est longue devant le temps d'émanation, courbe avec un seuil quand la période est courte.

Il y a par contre un pb dans la valeur de l'activité. Par exemple dans le cas 2, la valeur max devrait etre de 4000 kBq (et non 40 kBq). (Il faut que je vérifie a froid que le bug ne se trouve pas dans une formule de mon fichier excel)

kokuba, la difficulté dans le calcul réside dans le fait que l'activité de X est alimenté en permanence. Dans le cadre d'une filiation radioactive, l'activité du père ne fait que décroitre.

Cas 1 :
Activité horaire : 2000 kBq/h
Temps d'alimentation : 2 h
Période de X : 10 min


Cas 2 :
Activité horaire : idem
Temps d'alimentation : idem
Période de X : 100 h

Heu !
Je crois que le deuxième élément est stable 
Iron Kloug

Seba a écrit:

kokuba, la difficulté dans le calcul réside dans le fait que l'activité de X est alimenté en permanence. Dans le cadre d'une filiation radioactive, l'activité du père ne fait que décroitre.

Justement, tu tombes dans le cas où le rapport des périodes est énorme (ex : filiation avec période1 en milliards d'années et période2 en secondes), donc la formule se simplifie en :


avec k le nombre de noyaux créés par seconde du précurseur et l'ensemble qui va tendre vers l'asymptote horizontale  y=k/λ2

Si tu as besoin de la démo, cela se fait assez simplement avec la méthode de superposition.

variation du nb de noyaux = production à facteur k constant moins destruction par filiation
N(t+dt)-N(t)=k.dt-lambda.N(t).dt
equa diff du style y'+ay=f(x) avec ici f(x) = cte= k donc on résout sans second membre (solution genre b.exp(-ax)) puis on fait "varier la constante b" dans l'équation complète et on tient compte des conditions initiales.
si on part d'une valeur N0 non nulle à t= 0, il se rajoute N0.exp(-lambda.t) à la solution de Kokura.
SGDG

Bonsoir 
Je réinsiste bêtement sans doute mais il n’y a pas de filiation !!
Le produit obtenu par décroissance est STABLE 
C’était l’hypothèse de SEBA
Donc le problème est de « saturer » le volume  et de savoir si c’est un solide ou un gaz et le volume V bien entendu.
SEBA corrigera si je me trompe (mais c’est ce que j’ai lu en rose).

Iron Kloug

Oui, c'est bien le cas. Il n'y a aucune hypothèse de fils radioactif dans l'équation.
Il n'y a bien qu'un seul lambda, celui de l'élément produit en continu et qui se désintègre. Si le produit de filiation était aussi radioactif, on aurait un système de deux équations et deux lambda.
Ce que voulait dire Kokura, je présume, c'est que la production à un taux constant d'un élément qui se désintègre ensuite est presque assimilable production d'un fils (2) de période courte par un père (1) de période suffisamment longue pour que la variation de production du fils soit négligeable dans les intervalles de temps considérés. D'où son utilisation des équations traditionnelles père-fils faisant intervenir deux lambda, mais lambda1 très grand.
Et, effectivement, la solution de l'équa diff du bilan massique est similaire à celle de son encadré simplifié, qui porte sur le nb de noyaux du fils, avec un bémol qui est d'ajouter la décroissance de la quantité initialement présente, pas forcément nulle, alors qu'avec le pb père-fils habituel, on part généralement d'une situation initiale où la production du fils démarre à t=0

Bonjour,

De retour devant le clavier, plein de foie gras et de bonnes résolutions... qu'il va falloir vite évacuer.

La réaction qui m’intéresse est :
pour "le robinet" : 14N(n,2n)13N
pour "la fuite" : 13N -> 13C

J'attends un retour à un taux normal de mes gamma-GT avant de me plonger dans les équa-diff

Bonjour,

En me replongeant dans les calculs, je retrouve la formule de kloug

Bonne année a Kloug, Gnaf, Kokura et tous les autres clowns...

pour info ci-dessous la démonstration