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 Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire

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Gluonmou
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyVen 6 Sep 2019 - 12:12

Donc on en est là :

Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 00410

Ensuite sur les cellules libres D4 et D5 on va calculer la moyenne expérimentale et l'écart-type expérimental des 1000 comptages, soit :


Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 00510

Et on arrive ici :

Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 00610

Avant de continuer quelques questions

Si l'on oublie que l'on a nous mêmes construit ces réalisations comme des réalisations d'un VA de Poisson, quelles sont les 3 propriétés majeures qui nous autorisent à émettre l'hypothèse que l'on est en présence d'un processus (comptage) "Poissonnien"


Ce qui nous permettra plus tard de pouvoir rejeter, si une seule de ces propriétés n'est pas respectée, l'hypothèse que le processus est poissonnien


Notez bien la nuance, on joue ici avec des hypothèses : si les 3 propriétés sont respectées, on ne peut pas rejeter l'hypothèse poissonnienne, mais on n'est pas absolument certains que c'est réellement Poissonien : il faudrait pour cela disposer d'une infinité de réalisation, pas fastoch


par contre si l'une des propriétés n'est pas respectées, on est certain que ce n'est pas poissonien

J'arrète là, je vous laisse construire le truc , puis ensuite on va s'en servir pour des applications pratiques
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Gluonmou
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyVen 6 Sep 2019 - 12:29

PS : au passage notez bien qu'en appuyant sur F9, la moyenne et l'écart-type expérimentaux bougent : ce sont aussi des variables aléatoires qui suivent leur propres lois. Seul le paramètre vraie ne bouge pas, et dans la vrais vie celui là vous aimeriez bien le connaitre mais vous ne le connaîtrez jamais
 jamais, jamais, c'est dur, je sais
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyVen 6 Sep 2019 - 13:14

Je continue cette phase préparatoire :
On va construire maintant une seconde variable aléatoire avec 1000 tirages
ça ce fait en 2 coup les gros, en tirant à droite les 5 premières cellules :

Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 00710

Attention, en  faisant cela la moyenne vraie s'incrément de +1. Pour l'instant on va remettre la même valeurs vraie 25,2
On arrive donc ici, où l'on obtient 2 VA de Poisson " i.i.d. "
 
Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 00810

Petite révision : ça veut dire quoi "i.i.d." 

Maintenant on va pouvoir jouer
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyMer 11 Sep 2019 - 12:38

Bon, ça roupille par ici!!
La rentrée qui vous a fatigué, démoralisé..?
Je comprend

On va quand même continuer nos devoirs de vacances, ça va vous replonger dedans

Pour répondre à mes propres questions : 
Pour respecter le caractère poisonnien, un échantillon de valeurs doit respecter a minima :

Critère 1 : Des valeurs entieres
Critère 2 : des valeurs positives
Critère 3 : un écart-type expérimental de l'ordre de la racine carrée de la moyenne expérimentale (vous n'aurez jamais l'égalité stricte avec un échantillon de taille toujours limitée, et le coté approximatif c'est un autre débat, là on va faire au doigt mouillé)

On va condenser les 2 premiers critères en un seul : les valeurs doivent être des entiers naturels (naturels =positif ou nul), bref 0,1 ,2... etc

Pour commencer nous allons construire dans une troisième colonne la somme de nos 2 VA iid (indépendantes et identiquement distribuées) simplement en faisant la somme lignes par lignes de comp 1 et compt 2

Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 Somme110

Puis vous tirez sur les 1000 tirages d'un double-clic et dans la foulée vous tirez vers la droite le calcul de la moyenne et de l'écart-type

Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 Somme210


On construit juste histoire de visualiser tout cela l’histogramme du comptage poissonien 1 et de la somme

Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 Somme_12

 Et dans la foulée 3 questions :

Q1) En fonction des résultats obtenus, pensez vous que la somme de 2 comptage poissonien respecte le caractère poissonien


Q2) quel est en théorie la moyenne vraie de la somme des 2 variables


Q3) question fondamentale : dans quels cas (très courant) fait-on la somme de plusieurs comptage poissonien

A vous
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Domino
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyMer 11 Sep 2019 - 20:27

Si personne ne répond, je tente ma chance:

1. la somme de 2 comptage poissonien est une loi de poisson

2. la moyenne théorique: 50,4
Ca parait presque trop évident pour être juste

3.Utiliser dans les mesures de contamination?

_________________
l' ouverture d'esprit n'est pas une fracture du crâne
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyMer 11 Sep 2019 - 23:03

Bien tenté

mais il serait bon de développer la réponse 1 : on constate que la loi somme respecte les 3 critères, notamment l'écart-type = 7 pour une moyenne de 50

donc on peut penser que la somme de 2 VA poissonnienne (VAP) l'est aussi.
Ce qui est vrai et se démontre par ailleurs (par un produit de convolution, mais passons)

OK pour la réponse 2, on en avait déjà parlé

Pour la réponse 3, il y a beaucoup de situation où l'on somme 2 VAP , par exemple un comptage de 20 secondes est la somme de 2 comptages de 10 s, évident...

Pour ma part le cas le plus caractéristique se retrouve en spectro gamma: 
- un spectre est constitué d'un grand nombre de canaux
- chaque canal se comporte comme un compteur poissonien, indépendant qui plus est des autres canaux (il y a une dépendance en moyenne mais c'est autre chose, si on compte 2 fois plus longtemps tous les canaux sont en moyenne 2 fois plus grands)
- Et donc lorsque l'on défini une région d’intérêt, qu'il y ai un  pic ou pas, la surface  (intégrale) de la ROI , somme des canaux, est donc une VAP

Allez, on passe à un autre cas : la différence de 2 VAP

ici on va former la différence compt2- compt1 en prenant une moyenne de 50.2 pour la VAP 2
On obtient ceci :
Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 Dif_bm10

Conclusions?
La différence est -elle une VAP 


Dans quel cas se retrouve t'on en présence d'une différence de 2 VAP?


Gluonmou
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyJeu 12 Sep 2019 - 9:33

Bonjour Gluonmou,

désolé de faire l'école buissonnière, je perds en productivité quand je passe sur ce sujet dans la journée et mon patron n'est pas content.

La différence n'a pas l'air poissonnienne, sans démonstration évidemment.

Le cas, je dirais le calcul d'aire nette pour un calcul d'activité en spectro gamma.

Daima
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyJeu 12 Sep 2019 - 9:40

Bonjour,

J'ai suivi le cours depuis le fond de la classe. Même si mon attention était grandement perturbée par la douce chaleur du radiateur et la présence de jolies filles dans la cour ...
Je vais tenter de rester concentré cette fois, et de participer.

Gluonmou a écrit:
La différence est -elle une VAP ?

Oui ?

Gluonmou a écrit:
Dans quel cas se retrouve t'on en présence d'une différence de 2 VAP?

Je dirais : dans le cas d'un comptage net (mesure brute moins mesure du BdF).
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyJeu 12 Sep 2019 - 10:01

Elève Thorvald,

Enfin vous revenez avec nous, j'avais raison de vous défendre au conseil de classe encore hier

Et cessez donc de regarder les filles, vous allez vous prendre un procès (là j'ai mis 100 balles dans la machine).

20/20 pour la réponse 2

par contre pour la question 1, où vous doutez avec raison, pensez vous que la variable différence obéissent à tous les critères  (post précédent)?
Gluonmou
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyJeu 12 Sep 2019 - 10:16

Gluonmou a écrit:
par contre pour la question 1, où vous doutez avec raison, pensez vous que la variable différence obéissent à tous les critères  (post précédent)?

Eh non ... OK pour les 2 premiers critères, mais pas pour le 3ème semble-t-il.

Mais alors, si notre variable différence n'est point poissonienne, qu'est-elle ?
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyJeu 12 Sep 2019 - 10:59

Je poserais la question différemment. Je ne demanderais pas ce qu'elle est mais plutôt ce que cela implique pour nos calculs de comptage net. Quels raccourcis utilisons nous comme des sagouins sur nos comptages nets que gluonmou va se faire un malin plaisir de briser ?
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyJeu 12 Sep 2019 - 13:09

Alors là le Daima il m'a démasqué avec mes gros sabots.

Et encore on n'a pas vu le pire

Alors oui effectivement pour commencer la différences de 2 VAP n'est plus une VA poissonienne (je l'écris en clair)

On le vois bien d'une part sur l'histogramme rouge, centre sur la même valeur que le comptage 1, mais plus large, ce que l'on retrouve sur le calcul de l'écartype expérimental proche de 8,5, au lieu de 5 pour une VAP de même moyenne.

La dispersion d'un comptage net est plus grande qu'un comptage brut de même moyenne.

Où l'on voit que la correction de bruit de fond n'est pas gratuite : certes on supprime en moyenne un biais (au faux zéro fluctuant), mais on ramène la fluctuation du bruit de fond dans l'opération de correction

Sur le plan théorique pour la moyenne vraie on a bien µnet=µbrut (50,1) - µBdf (25,2)= 24,9

Pour pour la vairance on a  :

Var(Net)= Var(brut) + Var(bdF)= 75,3
Donc un écart-type de dispersion égal à  :sigma:Net=Racine(75,3)=8,68

Ce qui à terme impacte le calcul de l'incertitude associé à une estimation unique d'une valeur nette :

                      u(Net1)=racine(Brut1+BdF1)=racine(Net1+2 BdF1)

Et non pas racine(Net1)

mais bon, c'est presque un détail à coté de ce qui suis (perception des gros sabots)

On va changer un peu les données : on va considérer toujours la différence de 2 VAP dans un esprit de correction de bdF, mais on va prendre pour le comptage brut (compt 2) la même moyenne que le bdF
Et l'on obtient (en 2 secondes , vive la simulation) ceci :

Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 Dif2_b10

Elle est pas mal, celle là, de distribution en rouge, non?

Alors, 

Q1) Poissononien ou pas? on casse combien de critère ici?
Q2) pareil : dans quel cas se retrouve t'on dans une telle situation?
Q2) et globalement ça vous inspire quoi?

Gluonmou
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyJeu 12 Sep 2019 - 14:10

Bonjour professeur,

Q1 : on casse les critères nombres positifs et celui de corrélation entre moyenne et écart type.

Q2 : On retrouve ce cas quand on a des comptages quasiment similaires au bruit de fond comme les bananes équatoriennes de ce bon vieux Miguel et ces Bq négatifs 100% BIO.

Q3 : qu'est ce qu'on fait des mesures négatives ? Et du coup ça renvoie vers ton ancien sujet : http://www.forum-rpcirkus.com/t4342-mesures-negatives
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyJeu 12 Sep 2019 - 15:46

Je suis du même avis que daima. D'ailleurs je vais changer de place et m'assoir à côté de lui, histoire de pomper sur le 1er de la classe. Et puis il fait trop chaud à côté du radiateur ...

Q1 : pas poissonien, puisque l'on casse les critères 2 et 3 (cette fois j'ai retenu la leçon).

Q2 : la réponse était dans l'énoncé en fait, "on va prendre pour le comptage brut (compt 2) la même moyenne que le bdF".


P.S. : je viens de jeter un œil au post des bananes équatoriennes. C'est hyper intéressant ! (merci daima !) Mais je le lirai en entier ce soir à tête reposée.
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyJeu 12 Sep 2019 - 16:08

Sans pomper sur le sujets des bananes à Miguel, je précise ma question :
De telles valeurs de comptages nettes peuvent être transformées en Bq par une simple opération de changement d'unité : on divise par R*T et hop.. (on va oublier pour simplifier l'intensité )
Pour un rendement de 1 % et un temps de comptage de 100 s ben un comptage=25 donne 25 Bq

Ben tiens, première ligne, j'ai pile poil -11, soit -11 Bq

j'en fait quoi?

Et au fait vous ne m'avez pas toujours dit dans quelle situation on se retrouvai dans un tel cas (et inversement dans quel cas  on se retrouvai dans une telle  situation)

Je vous autorise exceptionnellement  à discuter entre vous, sans hurler.

Gluonmou

Thorvald, arrêtez de regarder par la fenêtre avec vos yeux vitreux
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyJeu 12 Sep 2019 - 17:30

Pour moi la réponse se trouve déjà dans la légende des mesures négatives. D'ailleurs je sais pas si tu rembourses le nombre de cheveux arrachés avec ce sujet.

Je vais citer Domino qui avait reformulé la chose de manière simple sur ces -11 Bq:
Citation :
Si j'ai bien compris et en simplifiant (c'est pas que ce soit compliqué , quoique...)
Si ma valeur réelle est élevée, d'une part, j'aurai moins de valeurs négatives et surtout ne pas les prendre en compte ne change pas grand chose

Si ma valeur réelle est basse voire nulle, si je ne les prend pas en compte, je vais me planter
Conclusions: toujours les prendre en compte

Alors qu'on a beau être adepte de la légende des mesures négatives, par réflexe on a toujours tendance à dire "mdr ça existe pas, fiooout poubelle".
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyJeu 12 Sep 2019 - 19:31

Eh oui, on y arrive: "mdr ça existe pas, fiooout poubelle"


notez bien ici que ce réflexe primal qui semble frappé au coin du bon sens rejoint la pratique usuelle de la plupart des labos, en Europe en tous les cas.

Or si l'on en revient à la question du comment on pouvait se retrouver dans une telle situation (que personne me l'a dit, là je fais les gros yeux!), tout simplement lorsque, sans le savoir, vous mesurez un échantillon qui ne contient pas le radionucléide recherché, soit encore une activité vrai strictement nulle (A=0) ce qui vous en conviendrez peut arriver (certains ne sont pas d'accord avec cela, mais si vous voulez ouvrir un débat là dessus, on ouvrira un autre post..)

Donc du coup et toujours sans le savoir, votre comptage brut avec échantillon est en fait un comptage de bruit de fond (BdF2), et lorsque vous corrigez en utilisant un autre comptage de bruit de fond bdF1 ( là vous le savez, mais cela ne change rien à la chose), alors la correction correspond à l'opération  BdF2-BdF1

Sauf qu'évidemment en général vous ne le faites qu'une seule fois et pas 1000

Sauf là encore et à l'inverse dans le cas de campagnes de mesures environnement où vous répétez les mesures pour faire une moyenne locale , régionale ou nationale, et si vous mesurer la contamination en France avec du fermium 257  vous aurez 1000 mesures qui ressembleront à notre distribution rouge (parce qu'en vérité le Fermium 257 déjà il a une période courte mais surtout on n'en a pas produit des masses, loin s'en faut, on le saurait)

Avec une bonne moitié de mesures négatives

Et si à chaque mesure négative vous dites "poubelle", voilà ce que l'on obtient (c'est si facile de supprimer des mesures négatives):

Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 Dif3_b10

Et que constate t'on après avoir brillamment supprimé les valeurs négatives ?

Et bien que l'on obtient une moyenne de 5, alors que la valeur moyenne vrai est égale à Zéro (0,000...)
Soit une valeur biaisée vers le haut, c'était couru

Et cerise sur le gâteau, le tout est associée à une incertitude de +/-0,2

C'est donc un " 5 " certifié, avéré, gravé dans le marbre, un 5 qui pourra être 5 Bq/cm2 par exemple (fois le nombre de cm2 de la France ça fait un beau moulon de Fermium 257)

Alors qu'il n'y a pas le début d'un noyau, c'est ballot, voire carrément c...

Ce que l'on appelle entre nous des Bq administratifs, dont l'ANDRA est saturé (on peut comprendre qu'ils veuillent les fourguer dans le BTP si vous avez suivi les actualités sur votre boitier noir )
C'est pourtant la pratique usuelle de nos plus honorables institutions (

Frappé au coin du bon sens, ma brave dame...

Gluonmou

Je vous laisse méditer, on aura encore des choses à dire avec ce cas particulier
mais juste une question : comment diable ai-je obtenu une incertitude (à k=1) de 0,2

(j'aurai du l'élargir à k=2 mais j'ai déja pris la photo, on y reviendra, ça ne change rien à la chose)

j'en profite pour faire une offre commerciale, même si la charte du forum l'interdit : j'ai crée du Pu 239 administratif mais certifié avec des spectro gamma. je le vend au dixième du prix du marché.
Si ça intéresse quelqu'un
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyJeu 12 Sep 2019 - 19:40

Et comme je le dis souvent, ben les labos ils vivent biaisées mais heureux
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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptyVen 13 Sep 2019 - 22:12

Oups, le retour de Miguel! affraid

D'une part la courbe ne fait plus qu'une demi gaussienne

OK pour une moyenne artificiellement déplacée vers le haut
Mais, pour l'écart type, cela ne devrait-il pas être comme plus haut, au alentour de 7

Si on augmente le nombre de mesure; on va diminue l'incertitude...sur une moyenne déviée à D scratch

On pourrait pas les garder les valeurs négatives, après tout, ce n'est pas la valeurs qui sont négatives, c'est juste le calcul par soustraction, donc les garder permet d'avoir une moyenne

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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptySam 14 Sep 2019 - 13:08

Je complète un poil la conclusion de Domino :

"On pourrait pas les garder les valeurs négatives, après tout, ce n'est pas la valeurs qui sont négatives, c'est juste le calcul par soustraction, donc les garder permet d'avoir une moyenne" plus proche de la valeur vraie, fût-elle nulle

Pour l'écart-type il est normal qu'il baisse puisque les valeurs sont (artificiellement) moitiés moins fluctuantes.

Donc pour mémoire l'incertitude associée à la moyenne expérimentale en tant qu'estimateur de la vraie vrai c'est toujours et encore l'écart-type de dispersion (4) divisée par la racine carrée du nombres de mesures retenues (ici 522)
On pourrai encore dire pas mal de chose de ce cas particulier, notamment vs les histoires de seuil de décision, mais basta.

Je vais considérer maintanant une autre opération :

On va faire la moyenne algébrique de compt1 (µ=25) et compt2 (µ=25) soit (Compt1+compt2)/2

On va bien entendu retomber sur un truc centré sur 25


Même question : poissonnien ou pas , la moyenne?

Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 Moy1_b10

par ailleurs en faisant cette manip je me suis rendu compte que j'ai oublié que la construction d'une VAP que je vous ai donné est un poil biaisée (0,5)

Il faut la construire comme cela :

=ENT(LOI.NORMALE.INVERSE(ALEA();D$3;RACINE(D$3))+0.5)



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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptySam 14 Sep 2019 - 18:51

La moyenne des moyennes est une sommes divisées par 2
L'écart type dans ce cas est l'écart-type de la somme divisé par 2
Et on se retrouve avec un écart type de +/- 3.5

J'aurais tendance à dire que c'est poissonien même si l'écart type n'est pas vraiment le racine de 25

C'est comme si on avait fait 2000 mesures et du coup la dispersion diminue

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MessageSujet: Re: Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire   Fabriquez vous -meme votre simulateur de compteur nucléaire - Page 5 EmptySam 14 Sep 2019 - 23:27

La moyenne des moyennes est une sommes divisées par 2 :OK
L'écart type dans ce cas est l'écart-type de la somme divisé par 2 : OK
Et on se retrouve avec un écart type de +/- 3.5 : OK


par contre : 


C'est comme si on avait fait 2000 mesures  OUI et du coup la dispersion diminue NON



On a effectivement fait 2000 mesures mais la dispersion reste la même, pour les mesures "à l'unité", que l'on en fasse 10 ou 100 millions.


par contre ce que l'on constate c'est que la moyenne fluctue moins que les mesures à l'unité, c'est l'intérêt d'une valeur moyenne : elle est , (en moyenne) moins éloignée de la valeur vraie. Rappelez vous de cela : la moyenne casse les fluctuations aléatoires


Ici l'écart-type est divisé par racine(2) .


Et comme les valeurs sont en moyenne plus proche de la valeur vraie, cela se retrouve ensuite  sur l'incertitude


D'où l'intérêt de répéter les mesures lorsque s'est possible, et du coup d'en faire la moyenne


Concernant le caractère poissonien, ben non, parce que l'on ne respecte pas deux critères :


a) :les valeurs ne sont plus entières, donc s'est plié
Ce que, petit b,  confirme l'écart-type qui est ici assez significativement plus petit que 5  (on voit l'effet surtout sur la distribution)



Prochain et avant dernier exemple , et je vous laisse faire avec vos tableurs : 


mettez  µ1 à 250, et fabriquez la variable  Compt(1)/10


Conclusions?


poissonien, pas poissonien?
Et à nouveau, dans quel cas fait -on ce genre d'opérations?


Je ne reprendrai le cours que mardi


Et pour certains, suivez mon regard, n'en profitez pas pour aller embêter les filles


Gluonmou
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